siti_nur_faizah

•       GEOMETRI DAN PEMECAHAN MASALAH

•       Geometri merupakan cabang matematika yang tidak mengutamakan hubungan antar bilangan, meskipun ia menggunakan bilangan. Tetapi geometri mempelajari hubungan antara titik-titik, garis-garis, sudut-sudut, bidang-bidang serta bangun datar dan bangun ruang(solid).

•       Geometri adalah ilmu (sains) yang tidak hanya mementingkan “jawaban”, tetapi juga “bagaimana” dan “mengapa” anda menjawab itu

•       Geometri sebagai sistem deduktif dimulai dengan unsur-unsur yang tidak didefinisikan (undefined term) yang disebut unsur primitif, ditambah beberapa definisi dan beberapa asumsi yang disebut postulat atau aksioma

•       Ada  3 unsur yang tidak didefinisikan yaitu:

–      Titik : suatu tempat (posisi) dalam ruang (space). Titik tidak mempunyai panjang dan mempunyai tebal. Sebuah titik ditunjukkan dengan noktah (dot) yang diberi label dengan huruf besar.

–      Garis : himpunan titik-titik yang mempunyai panjang tetapi tidak mempunyai lebar. Untuk menamakan garis, dapat mengambil dari nama dua  titik sebarang pada garis itu atau dengan menggunakan satu huruf kecil. Bila menggunakan dua titik, dapat menggunakan dua huruf besar dengan sebuah garis diatasnya. Macam garis : garis lurus, garis patah, garis lengkung

–      Bidang

                bidang dapat diperluas tanpa batas, tetapi tidak mempunyai tebal

• Berpangkal dari  tiga unsur primitif (yang tidak didefinisikan) titik, garis dan bidang, akan dimulai untuk menggunakan definisi, postulat (aksioma) dan teorema.
• Definisi : pernyataan yang mendeskripsikan bangun-bangun dan sifat-sifat tertentu.
• Aksioma (postulat) : pernyataan yang diasumsikan benar tanpa bukti
• Teorema : pernyataan yang kebenarannya dibuktikan berdasar definisi, postulat atau teorema yang telah dibuktikan terlebih dahulu

•       Contoh :

•       Definisi :

–      Segmen(ruas garis) adalah himpunan titik-titik yang memuat dua titik dan semua titik-titik lainnya berada diantara dua titik itu

–      Postulat :

•       Ada tepat satu garis yang memuat dua titik berbeda

•       Teorema :

–      Dua sudut yang bertolak belakang adalah kongruen

•       PENGUKURAN JARAK

•       Postulat 1 è diberikan dua titik yang berbeda, maka tepat satu garis yang memuat kedua titik tersebut

•       Postulat 2 è setiap pasang titik berbeda berkesesuaian dengan tepat satu bilangan real positif

Postulat 3 è titik-titik pada garis berkesesuaian dengan bilangan-bilangan real sedemikian hingga:

–      Setiap titik pada garis itu berkesesuaian dengan tepat satu bilangan real;

–      Setiap bilangan real berkesesuaian dengan tepat satu titik pada garis; dan

–      Jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih bilangan-bilangan yang bersesuaian

•       Pemilihan penggaris tak hingga

•       Postulat 4 (Postulat Penempatan Penggaris) è diberikan dua titik P dan Q pada satu garis, sistem koordinat dapat dipilih sedemikian hingga koordinat titik P adalah nol dan koordinat titik Q adakah positif

•       Definisi 1.1 (Keantaraan titik-titik) diberikan tiga titik A, B, dan C, B dikatakan di antara A dan C jika dan hanya jika

–      A, B, dan C pada garis yang sama

–      AB + BC = AC

•       Teorema 1.1 Misal A, B dan C tiga titik pada sebuah garis dengan koordinat berturut-turut x, y, dan z. Jika x < y < z, maka B  diantara A dan C

•       Teorema 1.2 dari tiga titik berbeda pada garis yang sama ada tepat satu titik di antara dua yang lainnya.

•       Definisi  1.2 (Ruas Garis / Segmen) Himpunan titik-titik disebut ruas garis/segmen jika dan hanya jika himpunan itu memuat dua titik dan semua titik-titik lainnya berada diantara dua titik itu.

•       Definisi 1.3 (Segmen Kongruen) dua atau lebih ruas garis (segmen) dikatakan kongruen jika dan hanya jika ruas-ruas garis tersebut mempunyai panjang yang sama.

•       Teorema 1.3 kongruensi antar segmen adalah hubungan equivalensi

•        

•        

•        

•       Berapa sinar yang dapat mempunyai persekutuan titik pangkalnya?

•       Berapa sinar yang segaris mempunyai persekutuan titik pangkalnya?

•       Dalam gambar berikut berapa bannyak sinar berbeda yang dapat dibuat, jika titik-titik A, B dan C sebagai titik pangkal

•       Jika AB = BC apakah B titik tengah AC

•       BAB 2
GARIS, SUDUT, BIDANG DAN RUANG

•       Definisi 2.1 (segaris; sebidang) Titik-titik dikatakan segaris jika dan hanya ada sebuah garis yang memuat semua titik itu. Titik-titik dikatakan sebidang jika dan hanya jika ada sebuah bidang yang memuat semua titik itu.

•       Definisi 2.2 (ruang) Ruang adalah himpunan semua titik.

•       Postulat 5

–      Setiap bidang memuat paling sedikit tiga titik tak segaris.

–      Ruang memuat paling sedikit empat titik tak sebidang.

–      Postulat 6 è Jika dua titik terletak di sebuah bidang, maka garis yang memuat titik-titik ini terletak di bidang yang sama.

–      Postulat 7 è Setiap  tiga titik  terletak di paling sedikit satu bidang; setiap tiga titik tak segaris terletak di tepat satu bidang

•       Teorema 2.2 Jika sebuah garis memotong bidang yang tidak memuatnya, maka potongannya berupa satu titik saja.

•       Teorema 2.3 Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis dapat dibuat tepat satu bidang

•       Teorema 2.4 Melalui dua garis berpotongan, ada tepat satu bidang yang memuat keduanya.

•       BANGUN KONVEKS DAN PEMISAH

•       Definisi 2.3 (Konveks) Bangun disebut konveks jika, untuk setiap dua titik P dan Q pada bangun itu, seluruh ruas garis PQ terletak pada bangun itu.

•       Definisi 2.4 (Bidang Setengah; sisi) Diberikan sebuah gris dan bidng yang memuatnya, dua himpunan yng dipisah oleh garis itu disebut bidang setengah(half-plane). Garis yang menentukan dua bidang setengah itu disebut batas(edge) kedua bidang itu.

•        

•        

•       SUDUT DAN SEGITIGA

•       Definisi 2.6 Sudut adalah gabungan dua sinar garis yang tidak segaris yang berimpit titik pangkalnya. Kedua sinar garis tersebut disebut sisi sudut dan titik persekutuannya disebut titik sudut.

•       Interior dari sudut memuat semua titik-titiki di dalam sisi sudut.

•       Eksterior memuat semua titik-titik di luar sisi sudut. Titik-titik pada sisi sudut tidak termasuk pada interior maupun eksterior.

•       Definisi 2.7 Misal sudut BAC  adalah sudut yang terletak pada bidang V. Titik P pada bidang V dalam interior sudut BAC jika dan hanya jika (1) P dan B adalah pada sisi yang sama dari sinar AC dan (2) P dan C pada sisi yang sama pada sinar AB. Eksterior sudut BAC adalah himpunan semua titik pada bidang V yang tidak termuat pada interior dan  tidak terletak pada sudut itu sendiri.

•       Definisi 2.8. jika A,B, dan C adalah tiga titik tidak segaris maka gabunan dari ruas garis AB, ruas garis BC, dan ruas garis AC disebut segitiga dan dilambangkan ∆ ABC. Titik-titik A,B, dan C disebut titik sudut dan ruas garis-ruas garis AB, BC, dan AC disebut sisi. Sudut-sudut pada segitiga adalah tiga sudut yang ditentukan oleh sisi-sisi dan  titik sudut segitiga.

•       Definisi 2.9 titik-titik dikatakan terletak dalam interior pada segitiga jika dan hanya jika titik-titik itu terletak dalam interior setiap sudut pada segitiga. Titik-titik dalam Eksterior eksterior segitiga jika dan hanya jika titik-titik itu sebidang tetapi bukan bagian pada segitiga.

•       Definisi 2.10 keliling suatu segitiga adalah jumlah panjang ketiga sisi-sisi segitiga

•       SUDUT DAN UKURANNYA

•       Postulat 11 Setiap               bersesuaian dengan bilangan real antara 0 sampai dengan 180

•       Definisi 2.11 (sudut kongruen) sudut-sudut dikatakan kongruen jika dan hanya jika sudut-sudut itu mempunyai ukuran derajat sama.      

•       SUDUT, SEGITIGA DAN KONGRUENSI

•        

•       Definisi 3.1 (sudut-sudut bersisihan) Dua sudut yang sebidang disebut bersisihan jika dan hanya jika sudut-sudut tersebut mempunyai sisi yang bersekutu, tetapi tidak ada titik-titik dalam interior dari satu sudut menjadi interior sudut yang lain.

•       Definisi 3.2 (sudut-sudut saling bersuplemen) Dua sudut dikatakan saling bersuplemen jika dan hanya jika jumlah besar kedua sudut tersebut adalah 180

•       SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

•       Definisi 3.4 (sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul) Sebuah sudut dikatakan lancip jika dan hanya jika berukuran lebih dari 0 dan kurang dari 90. sudut dikatakan siku-siku jika dan hanya jika berukuran 90. sudut dikatakan tumpul jika dan hanya jika berukuran lebih dari 90 tetapi kurang dari 180.

•       Definisi 3.5 (segitiga lancip, segitiga tumpul) Segitiga dikatakan lancip jika dan hanya jika ketiga sudutnya lancip. Segitiga dikatakan tumpul jika dan hanya jika salah satu sudutnya adalah tumpul

•       Definisi 3.6 (segitiga siku-siku, hipotenusa, kaki) Sebuah ssegitiga dikatakan segitiga siku-siku jika dan hanya jika segitiga tersebut memiliki satu sudut siku-siku. Sisi di depan sudut siku-siku. Sisi di depan sudut siku-siku disebut hipotenusa. Kedua sisi-sisi yang lain disebut kaki.

•       Definisi 3.8 (sudut-sudut berkomplemen) dua sudut dikatakan saling berkomplemen jika dan hanya jika jumlah ukurannya 90.

•       Definisi 3.9 (sudut-sudut yang sama) dua sudut dikatakan sama(=) jika dan hanya jika keduanya sama.

•       Teorema 3.1 jika dua sudut saling berkomplemen maka kedua sudut itu adalah lancip

•       Teorema 3.2 setiap sudut kongruen dengan dirinya sendiri

•       Teorema 3.3 semua sudut siku-siku adalah kongruen

•       Teorema 3.4 jika kedua sudut saling kongruen dan saling bersuplemen maka masing-masing sudut itu adalah siku-siku

•       Teorema 3.5 suplemen-suplemen dari sudut-sudut yang kongruen adalah kongruen

•       Teorema 3.6 komplemen sudut-sudut yang kongruen adalah kongruen

•       KONGRUENSI SUDUT

•       Definisi 3.10 (sudut bertolak belakang) Dua sudut dikatakan bertolak belakang jika dan hanya jika sisi-sisi sudut tersebut membentuk sepasang sinar yang berlawanan.

•       Teorema 3.7 sudut-sudut yang bertolak belakang adalah kongruen

•       Teorema 3.8 jika dua garis berpotongan membentuk satu sudut siku-siku maka kedua garis tersebut membentuk empat sudut siku-siku

•       KONGRUENSI BANGUN

•       Definisi 3.11 (Bangun-bangun yang kongruen) Bangun-bangun geometri dikatakan kongruen jika dan hanya jika bangun-bangun tersebut mempunyai bentuk dan ukuran sama.

•       KONGRUENSI ANTAR SEGITIGA

•        

•       Definisi 3.13 (sisi apit, sudut apit, sudut depan, sisi depan) Sebuah sisi pada segitiga dikatakan diapit oleh dua sudut jika dan hanya jika titiksudut-titiksudut pada sudut-sudut itu adalah ujung dari sisi itu. Sebuah sudut pada segitiga dikatakan diapit oleh dua sisi pada segitiga jika dan hanya jika sudut itu jejuat dua sisi pada segitiga. Sebuah sisi pada segitiga dikatakan dideepan sudut jika dan hanya jika sisi itu tidak memuat titiksudut dari sudut itu. Sudut ini juga dikatakan sebagai sudut didepan sisi.

•       KONGRUENSI SEGITIGA SEBAGAI RELASI EKIVALENSI

•       Teorema 3.9 setiap ruas garis kongruen dengan dirinya sendiri

•       Teorema 3.10 kongruensi segitiga adalah relasi ekuivalensi